Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点为，离心率为，点在椭圆上，且的面积的最大值为.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知直线与椭圆交于不同的两点，若在轴上存在点，使得，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) ；（2）.

【解析】

（1）根据离心率得到，由的面积的最大值为得到，再结合椭圆中求出参数的值后可得方程．（2）将直线方程代入椭圆方程消去y得到关于x的二次方程，结合根据系数的关系求出线段的中点的坐标，由得，进而有，并由此得到，最后根据基本不等式得到所求范围．

（1）由题意得，解得．

∴椭圆的方程为．

（2）由消去y整理得，

且．

设，线段的中点为，

则．

∴，

∴．

∵在轴上存在点，使得，

∴，

∴，即，

∴．

∵，

∴，当且仅当且，即时等号成立．

∴，故．

∴实数的取值范围为．