题目内容

已知数列{an}满足a1=1，an+1=Sn+1（n∈N*）
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明： （n∈N*）．
【答案】分析：（1）利用数列递推式，再写一式，两式相减，可得数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，从而可求数列的通项；
（2）将通项化简，裂项，再利用放缩法，即可证明不等式．
解答：（1）解：∵a1=1，an+1=Sn+1
∴a2=S1+1=2，an=Sn-1+1（n≥2）
两式相减可得an+1=2an，
∵a2=2a1，∴数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列
∴an=2n-1；
（2）证明：==
∴=＜
∵=
∴＜=
∴＞
∴．
点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项，考查数列与不等式的综合，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知数列{an}满足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若数列{bn}满足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，试证明数列bn-1是等比数列；
（2）求数列{anbn}的前n项和Sn；
（3）数列{an-bn}是否存在最大项，如果存在求出，若不存在说明理由．
已知数列{an}满足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1则{an}的通项公式
 
．
已知数列{an}满足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数n，不等式a1•a2•…an＜2•n！
已知数列{an}满足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k项的和S3k（用k，a表示）
（2012•北京模拟）已知数列{an}满足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通项公式an等于
2n-1
2n-1
．

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