Question

【题目】已知函数（）.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数有极大值M，求证：.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）证明见解析

【解析】

（1）求出函数的导数，分、、三种情况讨论导数的符号从而判断函数的单调性；（2）由(1)知只有当时函数有极大值，求出极大值M将不等式转化为，利用导数判断函数的单调性证明成立即可.

（1）.

①当时，在区间单调递减，在区间单调递增；

②当时，令，，，

则在区间单调递增；在区间和单调递减；

③当时，令，，恒成立，则在上单调递减.

综上，当时，在区间单调递减，在区间单调递增；

当时，在区间单调递增，在区间和单调递减；

当时，在上单调递减.

（2）由（1）知，当时，在区间单调递减；在区间单调递增.

则函数没有极大值，

当时，在上单调递减，则函数没有极大值，

只有当时，在区间单调递增；在区间和单调递减，，

要证明，即证：（），

令（），，

设，则（），，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

∴当时，取得唯一的极小值，也是最小值.

的最小值是成立，

从而，（），即.