题目内容

在(ax-
1
x2
)6的展开式中，x3项的系数为-192，则
∫
a
0
(x-2)dx=
-2
-2
．
分析：由二项式定理，求出(ax-
1
x2
)6的展开式通项，可得x3项的系数，根据题意，可得关于a的方程，解可得a的值，将a的值代入
∫
a
0
(x-2)dx中，由定积分公式，计算可得答案．
解答：解：根据题意，在(ax-
1
x2
)6的展开式通项为Tr+1=C6r（ax）6-r（-
1
x2
）r=（-1）rC6r（a）6-r（x）6-3r，
令6-3r=3，可得r=1，
将r=1代入可得通项可得，T2=-C61（a）5x3，即-C61（a）5=-192，化简可得（a）5=32，
解可得a=2，
则
∫
a
0
(x-2)dx=∫02（x-2）dx=（
x2
2
-2x）|02=-2；
故答案为-2．
点评：本题考查二项式定理的运用以及定积分的计算，关键在于利用二项式定理求出a的值．
练习册系列答案
相关题目
已知函数y=x+
a
x
有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在（0，
a
]上是减函数，在[
a
，+∞）上是增函数．
（Ⅰ）如果函数y=x+
2b
x
（x＞0）的值域为[6，+∞），求b的值；
（Ⅱ）研究函数y=x2+
c
x2
（常数c＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；
（Ⅲ）对函数y=x+
a
x
和y=x2+
a
x2
（常数a＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数F（x）=（x2+
1
x
）n+（
1
x2
+x）n（n是正整数）在区间[
1
2
，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．
已知函数y=x+
a
x
（x＞0）有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在（0，
a
]上是减函数，在[
a
，+∞）上是增函数．
（1）如果函数y=x+
b2
x
（x＞0）的值域为[6，+∞），求b的值；
（2）研究函数y=x2+
c
x2
（x＞0，常数c＞0）在定义域内的单调性，并用定义证明（若有多个单调区间，请选择一个证明）；
（3）对函数y=x+
a
x
和y=x2+
a
x2
（x＞0，常数a＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数F（x）=(x2+
1
x
)2+(
1
x2
+x)2在区间[
1
2
，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．
已知函数y=x+
a
x
有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在（0，
a
]上是减函数，在[
a
，+∞）上是增函数．
（1）如果函数y=x+
2b
x
（x＞0）的值域为[6，+∞），求b的值；
（2）研究函数y=x2+
c
x2
（常数c＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；
（3）对函数y=x+
a
x
和y=x2+
a
x2
（常数a＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数F（x）=(x2+
1
x
)n+(
1
x2
+x)n（n是正整数）在区间[
1
2
，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．

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