题目内容
【题目】已知
是圆锥的高，
是圆锥底面的直径，
是底面圆周上一点，
是
的中点，平面
和平面
将圆锥截去部分后的几何体如图所示.
（1）求证：平面
平面；
（2）若
，
，求二面角
的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
（1）连结
，易证
，
，从而可证明
平面
，进而可证明平面
平面
；
（2）先证明
，
，
两两垂直，进而建立如图所示的空间直角坐标系，利用法向量的方法求得二面角
的余弦值即可.
（1）连结，则
，
又因为
是
的中点，所以.
因为
是圆锥的高，所以
平面
，
平面，所以，
又
，
所以平面，
又平面，
所以平面平面.
（2）由已知可得
，
所以
为正三角形，
.
又因为
，所以
，所以
.
于是分别以，，为
轴，
轴，
轴建立如图所示空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
.
则
，
，
.
设平面
的法向量为
，
由
得：
.
令
，得
，
，
即
.
设平面的法向量为
，
由
得：
，
令
，得
，
，即
.
设二面角的大小为
，由图可知，
，则
.
故所求二面角的余弦值为.
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