Question

【题目】已知一元二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0，c＞0）的图象与x轴有两个不同的公共点，其中一个公共点的坐标为（c，0），且当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0．
（1）当a=1， 时，求出不等式f（x）＜0的解；
（2）求出不等式f（x）＜0的解（用a，c表示）；
（3）若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8，求a的取值范围；
（4）若不等式m2﹣2km+1+b+ac≥0对所有k∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=1， 时， ，

f（x）的图象与x轴有两个不同交点，

∵ ，设另一个根为x2，则 ，∴x2=1，

则 f（x）＜0的解集为

（2）解：f（x）的图象与x轴有两个交点，

∵f（c）=0，设另一个根为x2，则 ，

又当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0，则 ，

∴f（x）＜0的解集为

（3）解：由（2）的f（x）的图象与坐标轴的交点分别为

这三交点为顶点的三角形的面积为 ，

∴ 故

（4）解：∵f（c）=0，∴ac2+bc+c=0，

又∵c＞0，∴ac+b+1=0，

要使m2﹣2km≥0，对所有k∈[﹣1，1]恒成立，则

当m＞0时，m≥（2k）max=2

当m＜0时，m≤（2k）min=﹣2

当m=0时，02≥2k0，对所有k∈[﹣1，1]恒成立

从而实数m的取值范围为 m≤﹣2或m=0或m≥2

【解析】（1）当a=1， 时， ，f（x）的图象与x轴有两个不同交点，由此能求出 f（x）＜0的解集．（2）f（x）的图象与x轴有两个交点，由f（c）=0，设另一个根为x2 ， 由此能求出f（x）＜0的解集．（3）由（2）的f（x）的图象与坐标轴的交点分别为 ，这三交点为顶点的三角形的面积为 ，由此能求出a的取值范围．（4）由f（c）=0，知ac2+bc+c=0，由c＞0，知ac+b+1=0，由此能求出实数m的取值范围．