题目内容

已知函数 $数学公式$ ．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设a，b∈[-2，2]，求证：|f（a）-f（b）|＜5．

（1）解：求导函数，可得f′（x）=x²-2．
令f′（x）＜0，可得 $\text{[math]}$ ；令f′（x）＞0，可得 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，
∴f（x）单调递减区间为 $\text{[math]}$ ；f（x）单调递增为（-∞，- $\text{[math]}$ ），（ $\text{[math]}$ ，+∞）．
∴f（x）单调的单调递减区间为 $\text{[math]}$ ；单调的单调递增区间为 $\text{[math]}$ ．
（2）证明：由（1）知函数f（x）在[-2，2]上的极大值为 $\text{[math]}$ ，极小值为 $\text{[math]}$ ；
又 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴f（x）在[-2，2]上的最大值 $\text{[math]}$ ，最小值为 $\text{[math]}$ ．
∴|f（a）-f（b）|≤|[f（x）]_max-[f（b）]_min|= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）求导函数，利用导数的正负，可得函数f（x）的单调区间；
（2）求出函数在[-2，2]上的最值，利用|f（a）-f（b）|≤|[f（x）]_max-[f（b）]_min|，即可证得结论．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．