题目内容

已知f（x）=sinπx．
（1）设 $数学公式$ ，求 $数学公式$ 和 $数学公式$ ；
（2）设 $数学公式$ ，求h（x）的最大值及此时x值的集合．

解：（1）g（ $\text{[math]}$ ）=f（ $\text{[math]}$ ）=sin $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，g（- $\text{[math]}$ ）=g（ $\text{[math]}$ ）+1=sin $\text{[math]}$ +1= $\text{[math]}$ ．
（2）h（x）=sin²πx+ $\text{[math]}$ cosπxsinπx+1= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ sin2πx+1=sin（2πx- $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ．
当sin（2πx- $\text{[math]}$ ）=1 时，h（x）的最大值为 $\text{[math]}$ ，此时，2πx- $\text{[math]}$ =2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，
即x的集合为 {x|x=k+ $\text{[math]}$ ，k∈z}．
分析：（1）由g（ $\text{[math]}$ ）=f（ $\text{[math]}$ ），g（- $\text{[math]}$ ）=g（ $\text{[math]}$ ）+1 求得式子的值．
（2）利用两角和差的三角公式化简h（x）的解析式为 sin（2πx- $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ，故当2πx- $\text{[math]}$ =2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z时，h（x）取的最大值，从而求得x的集合．
点评：本题考查三角函数的化简求值，两角和差的三角公式的应用，三角函数的最值，明确函数g（x）的意义，是解题的关键．