Question

Z∈C，满足Z+

1

Z

∈R，Z-

1

4

是纯虚数，求Z．

Answer 1

分析：可设z=a+bi（a∈R，b∈R）代入题中的条件可得Z-

1

4

=（a-

1

4

）+bi，Z+

1

Z

=a+

a

a2+b2

+(b-

b

a2+b2

)i然后利用Z+

1

Z

∈R，Z-

1

4

是纯虚数求解即可．

解答：解：设z=a+bi（a∈R，b∈R）
则Z-

1

4

=（a-

1

4

）+bi
∵Z-

1

4

是纯虚数
∴a-

1

4

=0，b≠0
∴a=

1

4

，b≠0①
∵Z+

1

Z

=a+

a

a2+b2

+(b-

b

a2+b2

)i∈R
∴b-

b

a2+b2

=0
∵b≠0
∴a²+b²=1②
∴由①②得b=

+

.

3

2

∴Z=

1

4

+

3

2

i或Z=

1

4

-

3

2

i

点评：本题主要考查了利用复数的有关概念进行解题．解题的关键是要分析出Z+

1

Z

∈R要求虚部为0，Z-

1

4

是纯虚数要求实部为0虚部不为0！