Question

设a、b都是整数，且a²＋b²能被3整除．

求证：a和b都能被3整除．

Answer 1

答案：
解析：

证明：假设a、b中至少有一个不被3整除． 　　不妨设a＝3k＋m(m＝1或m＝2且k∈Z)， 　　当b＝3n(n∈Z)，则a2＋b2＝(3k＋m)2＋(3n)2＝9k2＋6km＋m2＋9n2 　　＝3(3k2＋2km＋3n2)＋m2． 　　∵3(3k2＋2km＋3n2)能被3整除，m2不能被3整除， 　　∴a2＋b2不能被3整除，与已知矛盾． 　　当b＝3n＋1(n∈Z)时，a2＋b2＝(3k＋m)2＋(3n＋1)2＝9k2＋6km＋m2＋9n2＋6n＋1 　　＝3(3k2＋2km＋3n2＋2n)＋m2＋1． 　　∵m2＋1不能被3整除，∴a2＋b2不能被3整除，与已知矛盾． 　　当b＝3n＋2(n∈Z)时，a2＋b2＝(3k＋m)2＋(3n＋2)2＝9k2＋6km＋m2＋9n2＋12n＋4 　　＝3(3k2＋2km＋3n2＋4n)＋m2＋4． 　　∵m2＋4不能被3整除，∴a2＋b2不能被3整除，与已知矛盾． 　　综上，可知a和b都能被3整除．