Question

已知函数.

(1)若，求曲线在处的切线斜率；

(2)若函数f(x)在上的最大值为-3；求a的值；

（3）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围。

Answer 1

解：（I）由已知得f′(x)=2+   (x＞0)  …………………………………（1分）

            f′(x)=2+1=3，故曲线y=f(x)在x=1处切线的斜率为3 …………（3分）

       （II）f′(x)=a+= (x＞0)……………………………………… （4分）

①当a≥0时，f′(x)＞0，f′(x)在（0，e］上单调递增

f(x)=f(e)=ae+1=-3，  （舍去）…………………………… （5分）

（III）由已知转化为＜…………………………(10分 )

又x∈（0，1）时=2………………………………………（11分）

由（2）知，当a≥0时，f(x)在（0，+∞）上单调递增，值域为R，不合题意（或举出反例：存在f(e³)=ae³+3＞2，不合题意，舍去)

当a＜0时，f(x)在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减

∴=f()=-1-ln(-a)…………………………………………（13分）

∴-1-ln(-a)＜2   解得a＜-

答a的取值范围是（-∞，-）……