Question

如图，已知中心在原点且焦点在x轴上的椭圆E经过点A（3，1），离心率e=

6

3

．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点A且斜率为1的直线交椭圆E于A、C两点，过原点O与AC垂直的直线交椭圆E于B、D两点，求证A、B、C、D四点在同一个圆上．

Answer 1

分析：（1）设出椭圆的方程，利用椭圆E经过点A（3，1），离心率e=

6

3

，可求椭圆的几何量，从而可得椭圆E的方程；
（2）确定B，C，D的坐标，求出过这三点的圆，验证A满足方程即可．

解答：（1）解：设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），因为离心率e=

6

3

，所以a²=3b²，…（2分）
所以椭圆方程为

x2

3b2

+

y2

b2

=1，
又因为经过点A（3，1），则

9

3b2

+

1

b2

=1，…（4分）
所以b²=4，所以a²=12，属于椭圆的方程为

x2

12

+

y2

4

=1．…（6分）
（2）证明：直线AC的方程为y=x-2，与椭圆方程联立，可得x²-3x=0，∴x=0或x=3，∴C（0，-2）
直线BD的方程为y=-x，与椭圆方程联立，可得x²=3，∴x=±

3

，∴B（

3

，-

3

），D（-

3

，

3

）
设经过B，C，D三点的圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，则有

4+2E+F=0 6+ 3 D- 3 E+F=0 6- 3 D+ 3 E+F=0

∴D=-1，E=-1，F=-6，∴圆的方程为x²+y²-x-y-6=0，
∵点A（3，1）也适合，∴A（3，1）在圆上，
∴A、B、C、D四点在同一个圆上．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查圆的方程，考查学生的计算能力，属于中档题．