Question

已知圆Cx²+y²+2x-4y+3=0
（1）已知不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程；
（2）求经过原点且被圆C截得的线段长为2的直线方程．

Answer 1

分析：（1）已知切线不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出变量即可求直线l的方程；
（2）利用斜率存在与不存在两种形式设出直线方程，通过圆心到直线的距离、半径半弦长满足勾股定理，求出经过原点且被圆C截得的线段长为2的直线方程．

解答：解：（1）∵切线在两坐标轴上截距相等且不为零，设直线方程为x+y+c=0…1分
圆C：x²+y²+2x-4y+3=0
圆心C（-1，2）半径为

2

，
圆心到切线的距离等于圆半径：

|-1+2+c|

12+12

=

2

，…3分
解得c=1或c=-3…4分
∴l或δ=1…5分
所求切线方程为：x+y+1=0或x+y-3=0…6分
（2）当直线斜率不存在时，直线即为y轴，此时，交点坐标为（0，1），（0，3），线段长为2，符合
故直线x=0…8分
当直线斜率存在时，设直线方程为y=kx，即kx-y=0
由已知得，圆心到直线的距离为1，…9分
则

|-k-2|

k2+1

=1⇒k=-

3

4

，…11分
直线方程为y=-

3

4

x
综上，直线方程为x=0，y=-

3

4

x…12分．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力．