Question

已知函数（a∈R），将y=f（x）的图象向右平移两个单位，得到函数y=g（x）的图象，函数y=h（x）与函数y=g（x）的图象关于直线y=1对称．
（Ⅰ）求函数y=g（x）和y=h（x）的解析式；
（Ⅱ）若方程f（x）=a在x∈[0，1]上有且仅有一个实根，求a的取值范围；
（Ⅲ）设F（x）=f（x）+h（x），已知F（x）＞2+3a对任意的x∈（1，+∞）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意可得．
设y=h（x）的图象上一点P（x，y），点P（x，y）关于y=1的对称点为Q（x，2-y），
由点Q在y=g（x）的图象上，所以，
于是，即．
（Ⅱ）设t=2^x，∵x∈[0，1]，∴t∈[1，2]．
由得，即t²-at-a=0在t∈[1，2]上有且仅有一个实根．
设k（t）=t²-at-a，对称轴．
若k（1）=0，则，两根为．适合题意；
若k（2）=0，则，两根为．适合题意．
若在（1，2）内有且仅有一个实根，则k（1）•k（2）＜0①或 ②
由①得 ；
由②得 无解．
综上可得．
（Ⅲ）．
由F（x）＞2+3a，化简得，设t=2^x，t∈（2，+∞）．
即t²-4at+4a＞0对任意t∈（2，+∞）恒成立．
注意到t-1＞1，分离参数得对任意t∈（2，+∞）恒成立．
设，t∈（2，+∞），即，
而．
可证m（t）在（2，+∞）上单调递增．
∴m（t）＞m（2）=4，
∴，即a∈（-∞，1]．
分析：（Ⅰ）由图象的平移可得g（x）的解析式，由对称区间的解析式的求解方法可得h（x）的解析式；
（Ⅱ）设t=2^x，问题转化为t²-at-a=0在t∈[1，2]上有且仅有一个实根，由分类讨论的思想可得答案；
（Ⅲ）设t=2^x，t∈（2，+∞）．问题转化为t²-4at+4a＞0对任意t∈（2，+∞）恒成立，构造函数，可得其最小值，进而可得答案．
点评：本题考查函数解析式的求解，以及恒成立问题，涉及分类讨论的思想，属中档题．