Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁，侧面AA₁C₁C⊥侧面ABB₁A₁，AA₁=A₁C=CA=2，AB=A1B=

2

．
（1）求证：AA₁⊥BC；
（2）求二面角A-BC-A₁的余弦值；
（3）若

BD

=2

DB1

，在线段CA₁上是否存在一点E，使得DE∥平
面ABC？若存在，求出CE的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）取AA₁中点O，连接CO，BO，由已知中A₁C=CA=2，AB=A1B=

2

．易得CO⊥AA₁且BO⊥AA₁，结合线面垂直的判定定理可得AA₁⊥平面BOC，进而由线面垂直的性质定理得到AA₁⊥BC；
（2）结合（1）的结论可得OA，OB，OC两两垂直，以O为坐标原点，分别以OA，OB，OC为x，y，z轴建立空间直角坐标系O-xyz．我们求出平面ABC的一个法向量和平面OBC的一个法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角A-BC-A₁的余弦值；
（3）设

CE

=λ

CA1

，结合DE∥平面ABC，

BD

=2

DB1

，我们可以构造一个关于λ的方程，解方程求出λ的值，即可得到向量

CE

模的大小．

解答：证明：（1）取AA₁中点O，连接CO，BO．
∵CA=CA₁，
∴CO⊥AA₁，
又∵BA=BA₁，
∴BO⊥AA₁，
∵BO∩CO=O，
∴AA₁⊥平面BOC，
∵BC?平面BOC，
∴AA₁⊥BC．
解：（2）由（1）CO⊥AA₁，又侧面AA₁C₁C⊥侧面ABB₁A₁，侧面AA₁C₁C∩侧面ABB₁A₁=AA₁
∴CO⊥平面ABB₁A₁，而BO⊥AA₁，
∴OA，OB，OC两两垂直．
如图，以O为坐标原点，分别以OA，OB，OC为x，y，z轴建立空间直角坐标系O-xyz．则有O(0，0，0)，A(1，0，0)，A1(-1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，

3

)，B1(-2，1，0)由对称性知，二面角A-BC-A₁的大小为二面角A-BC-O的两倍
设

n1

=(x1，y1，z1)是平面ABC的一个法向量，
∵

CA

=(1，0，-

3

)，

CB

=(0，1，-

3

)，
由

n1 • CA =0 n1 • CB =0

即

x1- 3 z1=0 y1- 3 z1=0

解得

x1= 3 z1 y1= 3 z1

令z₁=1，∴

n1

=(

3

，

3

，1)．
又

n2

=(1，0，0)是平面OBC的一个法向量，
设二面角A-BC-O为θ，则cosθ=

| n1 • n2 |

| n1 |•| n2 |

=

3 7

⇒cos2θ=2(

3 7

)2-1=-

1

7

，
所以二面角A-BC-A₁的余弦值是-

1

7

．
（3）假设存在满足条件的点E，∵

CA1

=(-1，0，-

3

)，故可设

CE

=λ

CA1

=λ(-1，0，-

3

)，
则

OE

=

OC

+λ

CA1

=(0，0，

3

)+λ(-1，0，-

3

)=(-λ，0，

3

-

3

λ)，
∵

BD

=2

DB1

，
∴D(-

4

3

，1，0)，
∴

DE

=(-λ+

4

3

，-1，

3

-

3

λ)，
∵DE∥平面ABC，
∴

DE

•

n1

=0，
即

3

(-λ+

4

3

)+

3

×(-1)+1×(

3

-

3

λ)=0，解得λ=

2

3

，
∴|

CE

|=

2

3

|

CA1

|=

4

3

点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，空间中直线与直线之间的位置关系，向量语言表述线面的垂直、平行关系，其中（1）的关键是证得CO⊥AA₁且BO⊥AA₁，（2）的关键是求出平面ABC的一个法向量和平面OBC的一个法向量，（3）的关键是根据已知条件求出λ的值．