题目内容

已知函数f（x）=lg（ $数学公式$ +m•2^x+1）的定义域为R，试求实数m的取值范围．

解：由题意2^2x+m•2^x+1＞0对任意实数x都成立，即m＞-（2^x+ $\text{[math]}$ ）在实数范围内恒成立．
令g（x）=-（2^x+ $\text{[math]}$ ），则m大于函数g（x）的最大值．
∵2^x＞0，∴g（x）=-（2^x+ $\text{[math]}$ ）≤-2 $\text{[math]}$ =-2，当且仅当2^x= $\text{[math]}$ ，即x=0时，等号成立．
故函数g（x）的值域是（-∞，-2]．
∴m的取值范围是（-2，+∞）．
分析：将已知条件等价转化为：m＞-（2^x+ $\text{[math]}$ ）在实数范围内恒成立，利用基本不等式求出-（2^x+ $\text{[math]}$ ）的范围，即可求得
m的取值范围．
点评：本题考查函数的定义域和值域的求法、函数的恒成立问题，基本不等式的应用，属于中档题．

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已知函数f（x）=2x-2+ae^-x（a∈R）
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；
（2）当a=1时，若直线l：y=kx-2与曲线y=f（x）在（-∞，0）上有公共点，求k的取值范围．

已知函数f（x）=x²+2|lnx-1|．
（1）求函数y=f（x）的最小值；
（2）证明：对任意x∈[1，+∞），lnx≥

恒成立；
（3）对于函数f（x）图象上的不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂），如果在函数f（x）图象上存在点M（x₀，y₀）（其中x₀∈（x₁，x₂））使得点M处的切线l∥AB，则称直线AB存在“伴侣切线”．特别地，当x₀=

时，又称直线AB存在“中值伴侣切线”．试问：当x≥e时，对于函数f（x）图象上不同两点A、B，直线AB是否存在“中值伴侣切线”？证明你的结论．

已知函数f（x）=x²-bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线x+3y-1=0垂直，若数列{

}的前n项和为S_n，则S₂₀₁₂的值为（　　）

已知函数f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函数f（x）的极值点；
（Ⅱ）若直线l过点（0，-1），并且与曲线y=f（x）相切，求直线l的方程．

已知函数f（x）=

，a≠0且a≠1．
（1）试就实数a的不同取值，写出该函数的单调增区间；
（2）已知当x＞0时，函数在（0，

）上单调递减，在（

，+∞）上单调递增，求a的值并写出函数的解析式；
（3）记（2）中的函数图象为曲线C，试问是否存在经过原点的直线l，使得l为曲线C的对称轴？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．