Question

如图，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁⊥底面ABC，侧棱AA₁与底面ABC成60°的角，AA₁=2．底面ABC是边长为2的正三角形，M、N分别是AC和B₁C₁的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥侧面ABB₁A₁；
（Ⅱ）求MN与平面ABC所成的角的大小（用反三角函数表示）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证MN∥侧面ABB₁A₁，只需取A₁B₁的中点P，连接NP、AP，证明MN∥AP．MN?面ABB₁A₁，AP?面ABB₁A₁，即可．
（Ⅱ）通过MN与平面ABC所成的角和AP与平面ABC所成的角相等．连接PB，说明，∠PAB为直线PA与面ABC所成的角，通过tan∠PAB=

PB

AA1

，求MN与平面ABC所成的角的大小（用反三角函数表示）．

解答：解（Ⅰ）证明：取A₁B₁的中点P，连接NP、AP，
则NP∥AM，NP=

1

2

A1C1=

1

2

AC=AM，
∴四边形AMNP为平行四边形，∴MN∥AP．
∵MN?面ABB₁A₁，AP?面ABB₁A₁，
∴MN∥侧面ABB₁A₁．
（Ⅱ）∵MN∥AP，∴MN与平面ABC所成的角和AP与平面ABC所成的角相等．连接PB，
∵四边形ABB₁A₁为菱形，且∠A₁B₁B=60°，∴PB⊥AB．
∵侧面ABB₁A₁⊥底面ABC，侧面ABB₁A₁∩底面ABC=AB，
∴PB⊥底面ABC，∴∠PAB为直线PA与面ABC所成的角．
∵PB=

3

2

AA1=

3

，∴tan∠PAB=

3

2

，∴∠PAB=arctan

3

2

，
即MN与面ABC所成的角为arctan

3

2

．

点评：本题考查直线与平面的平行，直线与平面所成角的求法，注意直线与平面平行的定理以及准确作出直线与平面所成的角，考查计算能力．