Question

已知函数f（x）=x²+bx+c，f（x）≤0的解集为{x|-4≤x≤-1}．
（1）求实数b，c的值；
（2）求函数g(x)=

f(x)

x

（x＞0），求函数的最小值及此时x的值．

Answer 1

分析：（1）根据函数f（x）=x²+bx+c，f（x）≤0的解集为{x|-4≤x≤-1}，可得-4，-1是方程x²+bx+c=0的两根，利用韦达定理可求实数b，c的值；
（2）函数g(x)=

f(x)

x

=

x2+5x+4

x

=x+

4

x

+5（x＞0），利用基本不等式可求函数的最小值及此时x的值

解答：解：（1）∵函数f（x）=x²+bx+c，f（x）≤0的解集为{x|-4≤x≤-1}．
∴-4，-1是方程x²+bx+c=0的两根
∴

-4+(-1)=-b (-4)×(-1)=c

∴b=5，c=4
∴f（x）=x²+5x+4
（2）函数g(x)=

f(x)

x

=

x2+5x+4

x

=x+

4

x

+5
∵x＞0，∴

4

x

＞0
∴g(x)≥2

x• 4 x

+5=9
当且仅当

x＞0 x= 4 x

，即x=2时取等号
∴函数g（x）的最小值为9，此时x=2

点评：本题重点考查不等式的解集与方程解之间的关系，考查基本不等式的运用，解题的关键是搞清不等式的解集与方程解之间的关系．