Question

在△ABC中，C-A=

π

2

，sinB=

1

3

．
（1）求sinA的值；
（2）设AC=

6

，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）由已知C-A=

π

2

和三角形的内角和定理得到A与B的关系式及A的范围，然后两边取余弦并把sinB的值代入，利用二倍角的余弦函数公式化简得到一个关于sinA的方程，求出方程的解即可得到sinA的值；
（2）要求三角形的面积，根据面积公式S_△ABC=

1

2

AC•BC•sinC中，AC已知，BC和sinC未知，所以要求出BC和sinC，由AC及sinA和sinB的值根据正弦定理求出BC，先根据同角三角函数间的关系由sinA求出cosA，然后由C与A的关系式表示出C，两边取正弦得到sinC与cosA相等，即可求出sinC，根据面积公式求出即可．

解答：解：（1）由C-A=

π

2

和A+B+C=π，
得2A=

π

2

-B，0＜A＜

π

4

．
故cos2A=sinB，即1-2sin²A=

1

3

，sinA=

3

3

．
（2）由（1）得cosA=

6

3

．
又由正弦定理，得

BC

sinA

=

AC

sinB

，BC=

sinA

sinB

•AC=

3 3

1 3

×

6

=3

2

．
∵C-A=

π

2

，∴C=

π

2

+A，
sinC=sin（

π

2

+A）=cosA，
∴S_△ABC=

1

2

AC•BC•sinC=

1

2

AC•BC•cosA
=

1

2

×

6

×3

2

×

6

3

=3

2

．

点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系、二倍角的余弦函数公式、诱导公式及三角形的面积公式和正弦定理，是一道综合题．做题时应注意角度的变换．