已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1 与双曲线C2:x2-y24=1 有公共的焦点.C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A.B两点．若C1恰好将线段AB三等分.则( )A．a2=132B．a2=3C．b2=12D．b2=2 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知椭圆C₁：

=1 （a＞b＞0）与双曲线C₂：x²-

=1 有公共的焦点，C₂的一条渐近线与以C₁的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C₁恰好将线段AB三等分，则（　　）

A．a²=

B．a²=3

C．^_b2=

D．^_b2=2

由题意，C₂的焦点为（±

，0），一条渐近线方程为y=2x，根据对称性易AB为圆的直径且AB=2a
∴C₁的半焦距c=

，于是得a²-b²=5 ①
设C₁与y=2x在第一象限的交点的坐标为（x，2x），代入C₁的方程得：x2=

a2b2

b2+4a2

②，
由对称性知直线y=2x被C₁截得的弦长=2

x，
由题得：2

，所以x=

③
由②③得a²=11b² ④
由①④得a²=5.5，b²=0.5
故选C

练习册系列答案

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=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，其中F₂也是抛物线C₂：y²=4x的焦点，M是C₁与C₂在第一象限的交点，且|MF₂|=

．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆C₁上，对角线BD所在的直线的斜率为1．
①当直线BD过点（0，

）时，求直线AC的方程；
②当∠ABC=60°时，求菱形ABCD面积的最大值．

已知椭圆C1：

=1(a＞b＞0)的一条准线方程是x=

，其左、右顶点分别是A、B；双曲线C2：

=1的一条渐近线方程为3x-5y=0．
（1）求椭圆C₁的方程及双曲线C₂的离心率；
（2）在第一象限内取双曲线C₂上一点P，连接AP交椭圆C₁于点M，连接PB并延长交椭圆C₁于点N，若

与以原点为圆心、以椭圆C₁的短半轴长为半径的圆相切．
（Ⅰ）求椭圆C₁的方程．
（Ⅱ）设椭圆C₁的左焦点为F₁，右焦点为F₂，直线l₁过点F₁，且垂直于椭圆的长轴，动直线l₂垂直l₁于点P，线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M，求点M的轨迹C₂的方程；
（Ⅲ）若AC、BD为椭圆C₁的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点F₂，求四边形ABCD的面积的最小值．

已知椭圆C₁：

=1（a＞b＞0）与双曲线C₂：x²-

=1有公共的焦点，C₂的一条渐近线与以C₁的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C₁恰好将线段AB三等分，则b²=

0.5

．

（2013•汕头一模）已知椭圆C₁：

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁、F₂，右顶点为A，离心率e=

（1）设抛物线C₂：y²=4x的准线与x轴交于F₁，求椭圆的方程；
（2）设已知双曲线C₃以椭圆C₁的焦点为顶点，顶点为焦点，b是双曲线C₃在第一象限上任意-点，问是否存在常数λ（λ＞0），使∠BAF₁=λ∠BF₁A恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

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