Question

已知函数f（x）=x|x+m|+n，其中m，n∈R．
（Ⅰ）求证：m²+n²=0是f（x）是奇函数的充要条件；
（Ⅱ）若常数n=-4且f（x）＜0对任意x∈[0，1]恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

解（I）充分性：若m²+n²=0，则m=n=0，∴f（x）=x|x|，
又有f（-x）=-x|-x|=-x|x|=-f（x），∴f（x）为奇函数．
必要性：若f（x）为奇函数，∵x∈R，
∴f（0）=0，即n=0，∴f（x）=x|x+m|
由f（1）=-f（-1），有|m+1|=|m-1|，∴m=0．
∴f（x）为奇函数，则m=n=0，即m²+n²=0．
∴m²+n²=0是f（x）为奇函数的充要条件．
（Ⅱ）若x=0时，m∈R，f（x）＜0恒成立；
若x∈（0，1]时，原不等式可变形为|x+m|＜-

n

x

．即-x+

n

x

＜m＜-x-

n

x

．
∴只需对x∈（0，1]，满足

m＜(-x- -4 x )min① m＞(-x+ -4 x )max②

对①式f1(x)=-x+

4

x

在（0，1]上单调递减．
∴m＜f₁（1）=3．③
对②式，设f&2(x)=-x-

4

x

，根据单调函数的定义可证明f₂（x）在（0，1]上单调递增，
∴f₂（x）_max=f（1）．
∴m＞f₂（1）=-5．④
由③④知-5＜m＜3．