Question

已知中心的坐标原点，以坐标轴为对称轴的双曲线C过点，且点Q在x轴上的射影恰为该双曲线的一个焦点F₁
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）命题：“过椭圆的一个焦点F作与x轴不垂直的任意直线l”交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则为定值，且定值是”．命题中涉及了这么几个要素：给定的圆锥曲线E，过该圆锥曲线焦点F的弦AB，AB的垂直平分线与焦点所在的对称轴的交点M，AB的长度与F、M两点间距离的比值．试类比上述命题，写出一个关于抛物线C的类似的正确命题，并加以证明
（Ⅲ）试推广（Ⅱ）中的命题，写出关于圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的统一的一般性命题（不必证明）．

Answer 1

【答案】分析：（法一）（I）由题意可设双曲线C的方程为（a＞0，b＞0），由一个焦点为F₁（2，0）可得C的另一个焦点为F₂（-2，0），由双曲线的定义可求2a，由c=2，结合b²=c²-a²可求b，从而可求双曲线方程
（II）关于抛物线C的类似命题为：过抛物线y²=4x的焦点F₁（1，0）作与x轴不垂直的任意直线L交双曲线于点A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则为定值，定值是2
证明：由于直线与x轴不垂直，可设直线L的方程为y=k（x-1），联立方程可得k²x²-2（k²+2）x+k²=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则，x₁x₂=1，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=，可求线段AB的中点P的坐标，及AB的垂直平分线MP的方程，及M，从而可求MF₁，而=，代入可求AB，即可
（III）过圆锥曲线E的焦点F作与焦点所在的对称轴不垂直的任意直线L交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交焦点所在的对称轴于点M，则为定值，定值是（其中e 是圆锥曲线E的离心率）
（法二）（I）由题意可设双曲线C的方程为（a＞0，b＞0）
由已知可得，解方程可求a，b，进而可求方程
（ II）（III）同法一
解答：解：（I）由题意可设双曲线C的方程为（a＞0，b＞0）
∵点，且点Q在x轴上的射影恰为该双曲线的一个焦点F₁
∴双曲线C的一个焦点为F₁（2，0）可得C的另一个焦点为F₂（-2，0）（1分）
由2a=||QF₁|-|QF₂||=||=（3分）
∴a=，又c=2，所以b²=c²-a²=1（4分）
双曲线的方程为
（II）关于抛物线C的类似命题为：过抛物线y²=4x的焦点F₁（1，0）作与x轴不垂直的任意直线L交抛物线于点A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则为定值，定值是2（6分）
证明如下：由于直线与x轴不垂直，可设直线L的方程为y=k（x-1）（k≠0）
联立方程可得k²x²-2（k²+2）x+k²=0
由题意L与C有两个交点A，B，则k²≠0，△＞0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则，x₁x₂=1，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=
∴线段AB的中点P的坐标（8分）
AB的垂直平分线MP的方程为
令y=0可得，即M（），F₁（1，0）
∴|MF₁|=（9分）
∵=
==
∴=2（10分）
（III）过圆锥曲线E的焦点F作与焦点所在的对称轴不垂直的任意直线L交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交焦点所在的对称轴于点M，则为定值，定值是（其中e 是圆锥曲线E的离心率）（13分）
（法二）由题意可设双曲线C的方程为（a＞0，b＞0）（1分）
由已知可得（3分）
解可得，
∴双曲线的方程为（4分）
（II ），（III）同法一
点评：本题主要考查了由双曲线的性质求解双曲线的方程，直线与双曲线的相交关系的应用，方程的根与系数关系的应用及弦长公式的求解，解答本题还要求考试具备一定的逻辑推理与运算的能力