Question

【题目】已知椭圆：的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆相交于、两点．

（1）求 的周长；

（2）设点为椭圆的上顶点，点在第一象限，点在线段上．若，求点的横坐标；

（3）设直线不平行于坐标轴，点为点关于轴的对称点，直线与轴交于点．求面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）8（2）（3）

【解析】

（1）由椭圆定义可得结果；

（2）设，利用及点在椭圆上，即可解得点的横坐标；

（3）设，直线的方程为，联立方程利用韦达定理可得结果.

解:（1） 椭圆的长轴长为

由椭圆定义知，的周长为；

（2）由椭圆方程得，

设，

由，得， ①

点线段上，所以满足方程为②

将①式代入②，得，

代入椭圆方程，得，

因为，所以

（3）设，直线的方程为，

则点的坐标为，直线的方程为，

，

将直线方程代入椭圆方程得：

，

则，

所以，

，

所以面积的最大值为