题目内容

将曲线xy=1绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，求所得曲线的方程．
分析：由题意，得旋转变换矩阵M=
cos45°-sin45°
sin45°  cos45°
，设xy=1上的任意点P'（x'，y'）在变换矩阵M作用下为P（x，y），确定坐标之间的关系，即可求得曲线的方程．
解答：解：由题意，得旋转变换矩阵M=
cos45°-sin45°
sin45°  cos45°
=
2
2
 -
2
2
2
2
   
2
2
，
设xy=1上的任意点P'（x'，y'）在变换矩阵M作用下为P(x，y)，
2
2
 -
2
2
2
2
   
2
2
x′
y′
=
x
y
，
∴
x=
2
2
x′-
2
2
y′
y=
2
2
x′+
2
2
y′
，得
y2
2
-
x2
2
=1
将曲线xy=1绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，所得曲线的方程为
y2
2
-
x2
2
=1．
点评：本题考查旋转变换，解题的关键是确定变换前后坐标之间的关系，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
从A，B，C，D四个中选做2个A．选修4-1（几何证明选讲）
如图，AB是半圆的直径，C是AB延长线上一点，CD切半圆于点D，CD=2，DE⊥AB，垂足为E，且E是OB的中点，求BC的长．
B．选修4-2（矩阵与变换）
将曲线xy=1绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，求所得曲线的方程．
C．选修4-4（坐标系与参数方程）
求直线
x=1+2t
y=1-2t
（t为参数）被圆
x=3cosa
y=3sina
（α为参数）截得的弦长．
D．选修4-5（不等式选讲）
已知x，y均为正数，且x＞y，求证：2x+
1
x2-2xy+y2
≥2y+3．
将曲线xy=1绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，求所得曲线的方程．
将曲线xy=1绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，求所得曲线的方程．
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