Question

【题目】设数列{an}的前n项和为Sn，且首项a1≠3，an＋1＝Sn＋3n（n∈N*）．

（1）求证：数列{Sn－3n}是等比数列；

（2）若{an}为递增数列，求a1的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）由，可得数列是公比为，首项为的等比数列；（2）当时， ，利用为递增数列，即可求解的取值范围.

试题解析：（1）证明：∵an＋1＝Sn＋3n（n∈N*），∴Sn＋1＝2Sn＋3n，

∴Sn＋1－3n＋1＝2（Sn－3n）．又∵a1≠3，

∴数列{Sn－3n}是公比为2，首项为a1－3的等比数列．

（2）由（1）得，Sn－3n＝（a1－3）×2n－1，∴Sn＝（a1－3）×2n－1＋3n.

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（a1－3）×2n－2＋2×3n－1.

∵{an}为递增数列，

∴当n≥2时，（a1－3）×2n－1＋2×3n＞（a1－3）×2n－2＋2×3n－1，

∴2n－212×＋a1－3>0，∴a1＞－9.

∵a2＝a1＋3＞a1，∴a1的取值范围是a1＞－9.