Question

如图，有一块半径为2的半圆形钢板，现将其裁剪为等腰梯形ABCD的形状．它的下底AB是圆O的直径，上底CD的端点在圆周上．
（1）写出这个梯形的周长y与腰长x之间的函数关系式，并求出定义域；
（2）求y的最大值．

Answer 1

分析：（1）由于AB是圆O的直径，所以三角形ABD是直角三角形，连BD，过D作DE⊥AB于E，则由射影定理可知AD²=AE•AB，从而可用腰长表示上底长，进而可求梯形的周长y与腰长x之间的函数关系式，根据上底长，可确定函数的定义域；
（2）利用配方法可知函数函数在（0，2）上单调递增，在(2，2

2

)单调递减，由此可求周长y的最大值．

解答：解：（1）连BD，过D作DE⊥AB于E，
∵AB是圆O的直径，∴三角形ABD是直角三角形
∴根据射影定理有：AD²=AE•AB，
∵AD=x
∴AE=

x2

4

，又是等腰梯形
∴CD=4-2×

x2

4

=4-

x2

2

，
故梯形的周长y=4+2x+4-

x2

2

=-

x2

2

+2x+8
∵x＞0，4-

x2

2

＞0
∴0＜x＜2

2

．…（6分）
（2）由（1）得y=-

x2

2

+2x+8=-

1

2

(x-2)2+10，
∵函数在（0，2）上单调递增，在(2，2

2

)单调递减，
∴当x=2时，y_max=10．…（12分）

点评：本题以半圆为载体，考查函数模型的构建，关键是腰长表示上底长，同时考查二次函数的最值求法．