Question

如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是圆O的直径，上底CD的端点在圆周上．
（1）求梯形ABCD的周长y与腰长x间的函数解析式，并求出它的定义域；
（2）求梯形ABCD的周长y的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）作DE⊥AB于E，连接BD，根据相似关系求出AE，而CD=AB-2AE，从而求出梯形ABCD的周长y与腰长x间的函数解析式，根据AD＞0，AE＞0，CD＞0可求出定义域；
（2）利用二次函数在给定区间上求出最值的知识可求出函数的最大值．
解答：解：（1）如图，作DE⊥AB于E，连接BD．
因为AB为直径，所以∠ADB=90°．（1分）
在Rt△ADB与Rt△AED中，∠ADB=90°=∠AED，∠BAD=∠DAE，
所以Rt△ADB∽Rt△AED．（3分）
所以，即．
又AD=x，AB=4，所以．（5分）
所以，（6分）
于是（7分）
由于AD＞0，AE＞0，CD＞0，所以，
解得．（9分）
故所求的函数为．（10分）
（2）因为，（12分）
又，所以，当x=2时，y有最大值10．（14分）
点评：射影定理的应用是解决此题的关键，二次函数在解决实际问题中求解最值的常用的方法，属于中档题．