题目内容
某部门要设计一种如图所示的灯架，用来安装球心为O，半径为R（米）的球形灯泡．该灯架由灯托、灯杆、灯脚三个部件组成，其中圆弧形灯托
，
，
，
所在圆的圆心都是O、半径都是R（米）、圆弧的圆心角都是θ（弧度）；灯杆EF垂直于地面，杆顶E到地面的距离为h（米），且h＞R；灯脚FA1，FB1，FC1，FD1是正四棱锥F-A1B1C1D1的四条侧棱，正方形A1B1C1D1的外接圆半径为R（米），四条灯脚与灯杆所在直线的夹角都为θ（弧度）．已知灯杆、灯脚的造价都是每米a（元），灯托造价是每米
（元），其中R，h，a都为常数．设该灯架的总造价为y（元）．（1）求y关于θ的函数关系式；
（2）当θ取何值时，y取得最小值？
【答案】分析：（1）由题意把4根灯脚及灯架写成是关于θ的表达式，运用弧长公式把4根灯托也用θ表示，然后乘以各自的造价作和即可得到y关于θ的函数关系式；
（2）对（1）求出的函数式进行求导计算，分析得到当θ=
时函数取得极小值，也就是最小值．
解答：解：如图，
（1）延长EF与地面交于O1，由题意知：∠A1FO1=θ，且
，
从而EF=h-
，
，
则
，
．
（2）
，
设
，
令
=
=
．
得：1-2cosθ=0，所以
．
当θ∈
时，f′（θ）＜0．
当θ∈
时，f′（θ）＞0．
设
，其中
，∴
．
∴
，∴
时，y最小．
答：当
时，灯架造价取得最小值．
点评：本题考查了函数模型的选择及应用，考查了利用导数求函数的最值，解答此题时要注意实际问题要注明符合实际意义的定义域，此题是中档题．
（2）对（1）求出的函数式进行求导计算，分析得到当θ=
时函数取得极小值，也就是最小值．解答：解：如图，
（1）延长EF与地面交于O1，由题意知：∠A1FO1=θ，且
，从而EF=h-
，
，则
，
．（2）
，设
，令
=
=
．得：1-2cosθ=0，所以
．当θ∈
时，f′（θ）＜0．当θ∈
时，f′（θ）＞0．设
，其中
，∴
．∴
，∴
时，y最小．答：当
时，灯架造价取得最小值．点评：本题考查了函数模型的选择及应用，考查了利用导数求函数的最值，解答此题时要注意实际问题要注明符合实际意义的定义域，此题是中档题．
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