题目内容
已知数列{an}各项均不相等，将数列从小到大重新排序后相应的项数构成的新数列称为数列{an}的排序数列，例如：数列a1，a2，a3满足a2＜a3＜a1，则排序数列为2，3，1．
（Ⅰ）写出数列2，4，3，1的排序数列；
（Ⅱ）求证：数列{an}的排序数列为等差数列的充要条件是数列{an}为单调数列；
（Ⅲ）若数列{an}的排序数列仍为{an}，那么是否一定存在一项ak=k，证明你的结论．
（Ⅰ）写出数列2，4，3，1的排序数列；
（Ⅱ）求证：数列{an}的排序数列为等差数列的充要条件是数列{an}为单调数列；
（Ⅲ）若数列{an}的排序数列仍为{an}，那么是否一定存在一项ak=k，证明你的结论．
分析：（Ⅰ）根据排序数列的定义即可写出数列2，4，3，1的排序数列；
（Ⅱ）根据充分条件和必要条件的定义进行证明：数列{an}的排序数列为等差数列的充要条件是数列{an}为单调数列；
（Ⅲ）根据排序熟练的定义进行判断．
（Ⅱ）根据充分条件和必要条件的定义进行证明：数列{an}的排序数列为等差数列的充要条件是数列{an}为单调数列；
（Ⅲ）根据排序熟练的定义进行判断．
解答：解：（Ⅰ）排序数列为4，1，3，2．--------------------------------（3分）
（Ⅱ）证明：充分性：
当数列{an}单调增时，∵a1＜a2＜…＜an，
∴排序数列为1，2，3，…，n．
∴排序数列为等差数列．----------------------------------（4分）
当数列{an}单调减时，∵an＜an-1＜…＜a1，
∴排序数列为n，n-1，n-2，…，1．
∴排序数列为等差数列．
综上，数列{an}为单调数列时，排序数列为等差数列．---------（5分）
必要性：
∵排序数列为等差数列
∴排序数列为1，2，3，…，n或n，n-1，n-2，…，1．--------------（7分）
∴a1＜a2＜…＜an或an＜an-1＜…＜a1
∴数列{an}为单调数列．-------------------------------------（8分）
（Ⅲ）∵数列{an}的排序数列仍为{an}
∴数列{an}是1，2，3，…，n的某一个排序，----------------（9分）
假设不存在一项ak=k，即ai=j，（i≠j，i=1，2，3，…，j=1，2，3，…）
则在各项从小到大排列后ai排在第j位--------------------（11分）
∴排序数列{an}中aj=i，∴n为偶数（12分）．
∴当n为奇数时，一定存在一项ak=k，
当n为偶数时，不一定存在一项ak=k．-------------------（13分）
（Ⅱ）证明：充分性：
当数列{an}单调增时，∵a1＜a2＜…＜an，
∴排序数列为1，2，3，…，n．
∴排序数列为等差数列．----------------------------------（4分）
当数列{an}单调减时，∵an＜an-1＜…＜a1，
∴排序数列为n，n-1，n-2，…，1．
∴排序数列为等差数列．
综上，数列{an}为单调数列时，排序数列为等差数列．---------（5分）
必要性：
∵排序数列为等差数列
∴排序数列为1，2，3，…，n或n，n-1，n-2，…，1．--------------（7分）
∴a1＜a2＜…＜an或an＜an-1＜…＜a1
∴数列{an}为单调数列．-------------------------------------（8分）
（Ⅲ）∵数列{an}的排序数列仍为{an}
∴数列{an}是1，2，3，…，n的某一个排序，----------------（9分）
假设不存在一项ak=k，即ai=j，（i≠j，i=1，2，3，…，j=1，2，3，…）
则在各项从小到大排列后ai排在第j位--------------------（11分）
∴排序数列{an}中aj=i，∴n为偶数（12分）．
∴当n为奇数时，一定存在一项ak=k，
当n为偶数时，不一定存在一项ak=k．-------------------（13分）
点评：本题主要考查新定义的应用，以及充分条件和必要条件的证明，综合性较强．
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