题目内容
已知数列{an}各项均为正数，满足n
+(1-n2)a n-n=0．
（1）计算a1，a2，并求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{
}的前n项和Sn．
| a | 2 n |
（1）计算a1，a2，并求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{
| an |
| 2n |
分析：（1）将已知条件因式分解为（nan+1）（an-n）=0，再由数列{an}各项均为正数，能求出a1，a2和数列{an}的通项公式；
（2）由（1）知数列{an}为等差数列，而{
}为等比数列，利用错位相减法能求出数列{
}的前n项和Sn．
（2）由（1）知数列{an}为等差数列，而{
| 1 |
| 2n |
| an |
| 2n |
解答：解：（1）∵n
+(1-n2)a n-n=0，
∴（nan+1）（an-n）=0，
又∵数列{an}各项均为正数，
∴an=n，
∴a1=1，a2=2．
（2）∵an=n，∴
=
，
∴Sn=
+
+
+…+
+
，①
2Sn=
+
+
+…+
+
，②
错位相减，②-①，得：
Sn=1+
+
+…+
-
=
-
=2-
．
| a | 2 n |
∴（nan+1）（an-n）=0，
又∵数列{an}各项均为正数，
∴an=n，
∴a1=1，a2=2．
（2）∵an=n，∴
| an |
| 2n |
| n |
| 2n |
∴Sn=
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 22 |
| 3 |
| 23 |
| n-1 |
| 2n-1 |
| n |
| 2n |
2Sn=
| 1 |
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 3 |
| 22 |
| n-1 |
| 2n-2 |
| n |
| 2n-1 |
错位相减，②-①，得：
Sn=1+
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 22 |
| 1 |
| 2n-1 |
| n |
| 2n |
=
1×(1-
| ||
1-
|
| n |
| 2n |
=2-
| n+2 |
| 2n |
点评：本题考查数列的通项公式和数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意因式分解和错位相减法的合理运用．
练习册系列答案
阅读快车系列答案
相关题目
