题目内容

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，D是BC的中点，那么（ $数学公式$ - $数学公式$ ）• $数学公式$ =；若E是AB的中点，P是△ABC（包括边界）内任一点．则 $数学公式$ 的取值范围是．

2 [-9，9]
分析：由条件可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，故 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，由此求得 $\text{[math]}$ 的值．以CA所在的直线为x轴，以CB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，利用简单的线性规划求得t= $\text{[math]}$ 的取值范围．
解答：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，D是BC的中点，那么 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =16+4=20．
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2．
以CA所在的直线为x轴，以CB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A的坐标为（4，0），B的坐标为（0，2），
由线段的中点公式可得点D的坐标为（0，1），点E的坐标为（2，1），设点P的坐标为（x，y），

则由题意可得可行域为△ABC及其内部区域，故有 $\text{[math]}$ ．
令t= $\text{[math]}$ =（-4，1）•（x-2，y-1）=7-4x+y，即 y=4x+t-7．
故当直线y=4x+t-7过点A（4，0）时，t取得最小值为7-16+0=-9，
当直线y=4x+t-7过点B（0，2）时，t取得最大值为 7-0+2=9，
故t= $\text{[math]}$ 的取值范围是[-9，9]，
故答案为 2，[-9，9]．
点评：本题主要考查两个向量的数量积运算，线段的中点公式，简单的线性规划问题，属于中档题．