Question

已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）求导，令导数等于零，解方程，跟据f′（x），f（x）随x的变化情况即可求出函数的单调区间；
（Ⅱ）根据若对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤，利用导数求函数f（x）在区间（0，+∞）的最大值，即可求出k的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）=，
令f′（x）=0，得x=±k
当k＞0时，f′（x）f（x）随x的变化情况如下：

x	（-，-k）	-k	（-k，k）	k	（k，+）
f′（x）	+		-		+
F（x）		4k2e-1

所以，f（x）的单调递增区间是（-∞，-k），和（k，+∞），单调递减区间是（-k，k）；
当k＜0时，f′（x）f（x）随x的变化情况如下：

x	（-，-k）	-k	（k，-k）	-k	（-k，+）
f′（x）	-		+		-
F（x）				4k2e-1

所以，f（x）的单调递减区间是（-∞，k），和（-k，+∞），单调递增区间是（k，-k）；
（Ⅱ）当k＞0时，有f（k+1）=，不合题意，
当k＜0时，由（I）知f（x）在（0，+∞）上的最大值是f（-k）=，
∴任意的x∈（0，+∞），f（x）≤，?f（-k）=≤，
解得-，
故对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤，k的取值范围是-．
点评：此题是个难题．考查利用导数研究函数的单调性和在闭区间上的最值问题，对方程f'（x）=0根大小进行讨论，体现了分类讨论的思想方法，特别是（II）的设置，有关恒成立问题一般转化为求函数 的最值问题，体现了转化的思想，增加了题目的难度．