Question

设数列{a_n}是等差数列，a₅=6
（1）当a₃=3时，在数列{a_n}中找一项a_m，使a₃，a₅，a_m成等比数列，求m的值；
（2）当a₃=2时，若自然数n_t（t=1，2，3，…），满足5＜n₁＜n₂＜…＜n_t＜…，且使得…成等比数列，求数列{n_t}的表达式．

Answer 1

解：（1）由于a₅=a₃+2d 所以d=a_m=a₃+（m-3）d=（m-1）
∵a₃、a₅、a_m成等比数列∴36=3×（m-1）
∴m=9．
（2）由a₃=2，a₅=6，∴d=2∴a_n=a₃+（n-3）d=2n-4
又 公比q=∴=2×3^t+1∴2n_t-4=2×3^t+1∴n_t=3^t+1+2．
分析：（1）设出等差数列的公差，利用a₅=a₃+2d，求出d，a₃，a₅，a_m成等比数列，求出m即可．
（2）利用a₃=2，a₅=6，求出d，然后求出公比，通过…成等比数列，求出数列{n_t}的表达式．
点评：本题是中档题，考查等差数列与等比数列的关系，考查计算能力．