Question

如图1-4-13,△PQR∽△P′Q′R′且均为等边三角形,它们的重叠部分是一个六边形.设这个六边形的边长为AB=a₁, BC=b₁,CD=a₂,DE=b₂,EF=a₃,FA=b₃.

图1-4-13

求证: a₁²+a₂²+a₃²=b₁²+b₂²+b₃².

Answer 1

证明:易证△APB∽△CQ′B∽△CQD∽△ER′D∽△ERF∽△AP′F，它们的面积比为对应边的平方比,设比例系数为k,则

S_△APB=AB²·k=a₁²·k,

S_△CQ′B=CB²·k=b₁²·k,

S_△CQD=CD²·k=a₂²·k,

S_△ER′D=ED²·k=b₂²·k,

S_△ERF=EF²·k=a₃²·k,

S_△AP′F=FA²·k=b₃²·k.

由于两个正三角形未重叠部分应有相等面积,

∴(a₁²+a₂²+a₃²)k=(b₁²+b₂²+b₃²)k.

∴a₁²+a₂²+a₃²=b₁²+b₂²+b₃².