Question

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足．
（Ⅰ）求证：A，B，C三点共线，并求的值；
（Ⅱ）已知，且函数的最小值为，求实数m的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由向量共线的条件证明A，B，C三点共线，再由两向量之间的数乘关系得出求的值；
（Ⅱ）求出相关的向量的坐标，利用数量积得出函数的解析式，此是一个三角形函数，故由三角函数的最值建立关于参数的方程求实数m的值
解答：解：（Ⅰ）∵
∴
又因为有公共点B，
∴A，B，C三点共线（4分）
∵∴=（6分）
（Ⅱ）∵A（1，cosx），B（1+cosx，cosx），
∴=（8分）
∴又∵
∴（10分）
设cosx=t∵，∴t∈[0，1]
∴y=t²+2mt+1=（t+m）²+1-m²
当-m＜0即m＞0时，当t=0有
当0≤-m≤1即-1≤m≤0时，当t=-m有
∴
当-m＞1即m＜-1时，当t=1有∴（舍去）
综上得．（15分）
点评：本题考查平面向量综合题，以及三角的最值，解答本题，关键是熟练掌握向量的运算性质，加法，减法，数乘及数量积，且理解并掌握它们的几何意义，本题中第二小题把最值问题转化到三角函数中来求，给出了一个向量与三角结合的样板，题后应总结一下这两个不同领域知识结合使用的规律．本题运算量较大，易运算出错，做题时要注意认真运算．