Question

已知椭圆（a＞b＞0）的离心率，A、B分别为椭圆长轴右端点与短轴上端点，坐标原点O到直线AB的距离为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过P（0，2）作斜率为k的直线交椭圆于不同的两点M、N，设，记，求证：（6f（λ）-32）k²=-3f（λ）；
（Ⅲ）求k与λ的范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先求直线AB的方程，利用坐标原点O到直线AB的距离为，建立方程，根据椭圆（a＞b＞0）的离心率，可建立另一方程，联立即可求得椭圆方程；
（Ⅱ）将l：y=kx+2与椭圆方程联立消去y得（1+2k²）x²+8kx+6=0，设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），由得，从而可得，即可证得结论；
（Ⅲ）利用判别式大于0，可确定k的范围，利用，可求λ的范围．
解答：（Ⅰ）解：∵A、B分别为椭圆长轴右端点与短轴上端点，
∴直线AB的方程为：
∴坐标原点O到直线AB的距离为
∵坐标原点O到直线AB的距离为
∴①
∵椭圆（a＞b＞0）的离心率，
∴②
由①②，可得a²=2，b²=1
∴椭圆方程为；…（4分）
（Ⅱ）证明：依题意得l：y=kx+2与椭圆方程联立消去y得（1+2k²）x²+8kx+6=0
设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），由得x₁=λx₂，∴…（6分）
∴
∴得证…（8分）
（Ⅲ）解：由（1+2k²）x²+8kx+6=0得△=（8k）²-4×6（1+2k²）＞0，
∴，即或…（10分）
∵，∴…（11分）
∴，∴且λ≠1…（12分）
综上所述：，…（13分）
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查参数的范围的确定，解题的关键是直线与椭圆方程联立，利用韦达定理解题．