Question

设函数f（x）满足f（-x）=f（x），且当x≥0时，，又函数g（x）=|xsinπx|，则函数h（x）=f（x）-g（x）在上的零点个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6

Answer 1

【答案】分析：依题意可知，f（x）、g（x）均为偶函数，将h（x）=f（x）-g（x）在上的零点个数转化为f（x）、g（x）在上的交点个数即可．
解答：解：∵f（-x）=f（x），
∴f（x）为偶函数；
又g（x）=|xsinπx|，
同理可得g（x）为偶函数．
令h（x）=f（x）-g（x）=0，x∈[-，2]，
则h（x）=f（x）-g（x）在[-，2]上的零点个数就是函数f（x）与g（x）在[-，2]上的交点个数．
当x=0时，f（0）==1，g（0）=|0×sin0|=0，f（0）＞g（0）；
当x=时，f（）==，g（）=|×sin|=，f（）=g（），
∴f（x）与g（x）在[0，]上有一个交点；
同理可得，f（x）与g（x）在[，1]，[1，]，[，2]上各有一个交点；
又f（x）、g（x）均为偶函数，
∴f（x）与g（x）在[-，0]上有一个交点；
综上所述，f（x）与g（x）在[-，2]上有五个交点．
故选C．
点评：本题考查根的存在性及根的个数判断，考查函数的奇偶性，考查转化思想与抽象思维能力的综合应用，属于难题．