Question

（理）如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA⊥面ABCD，PA=2

19

，AB=8，BC=6，点E是PC的中点，F在AD上且AF：FD=1：2．建立适当坐标系．
（1）求EF的长；
（2）证明：EF⊥PC．

Answer 1

分析：（1）以A为原点，

AB

，

AD

，

AP

分别为x，y，z轴建立直角坐标系，根据已知条件求出F，P，C，E点的坐标，利用两点间距离公式即可求得EF长；
（2）由（1）求出向量

EF

，

PC

的坐标，只需证明

EF

•

PC

=0；

解答：解：（1）以A为原点，

AB

，

AD

，

AP

分别为x，y，z轴建立直角坐标系，
由条件知：AF=2，
∴F（0，2，0），P（0，0，2

19

），C（8，6，0），从而E（4，3，

19

），
∴EF=

(4-0)2+(3-2)2+( 19 -0)2

=6．
（2）证明：

EF

=（-4，-1，-

19

），

PC

=（8，6，-2

19

），
∵

EF

•

PC

=-4×8+（-1）×6+（-

19

）×（-2

19

）=0，
∴EF⊥PC．

点评：本题考查空间两点间的距离公式、直线与直线垂直的判定，考查空间向量在立体几何中的应用，考查学生的计算能力，属中档题．