Question

已知定义在R上的函数f（x）总有导函数f′（x），定义F（x）=e^xf（x），G（x）=

f(x)

ex

，x∈R，e=2.71828一是自然对数的底数．
（1）若f（x）＞0，且f（x）+f′（x）＜0，试分别判断函数F（x）和G（x）的单调性：
（2）若f（x）=x²-3x+3，x∈R．
①当x∈[-2，t]（t＞1）时，求函数F（x）的最小值：
②设g（x）=F（x）+（x-2）e^x，是否存在[a，b]⊆（1，+∞），使得{g（x）|x∈[a，b]}=[a，b]？若存在，请求出一组a，b的值：若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）对F（x）、G（x）分别求导，利用F′（x）、G′（x）判定F（x）、G（x）的增减性；
（2）①由f（x）得F（x）的解析式，求导函数F′（x），利用F′（x）与F（x）的变化关系求出F（x）在[-2，t]（t＞1）上的最小值；
②假设存在区间[a，b]满足题意，只须证明假设是否成立；对g（x）求导，则x＞1时，g′（x）＞0，知g（x）是增函数，得

g(a)=a g(b)=b

，即方程（x-1）²e^x=x有两个大于1的不等实根，构造函数φ（x）=（x-1）²e^x-x（x≥1），判定φ（x）在（1，+∞）上有且只有一个零点；即证假设不成立．

解答：解：（1）∵F（x）=e^xf（x），∴F′（x）=e^x[f（x）+f′（x）]；
又∵f（x）+f′（x）＜0，∴F′（x）＜0，∴F（x）是R上的减函数；
∵G（x）=

f(x)

ex

，∴G′（x）=

f′(x)ex-f(x)ex

e2x

=

f′(x)-f(x)

ex

；
又∵f（x）＞0，f（x）+f′（x）＜0，∴f′（x）＜-f（x）＜0，
∴f′（x）-f（x）＜0，∴G′（x）＜0，∴G（x）是R上的减函数；
（2）①∵f（x）=x²-3x+3，x∈R；
∴F（x）=e^xf（x）=（x²-3x+3）e^x；
∴F′（x）=e^x[（2x-3）+（x²-3x+3）]=（x²-x）e^x=x（x-1）e^x，
当x∈[-2，t]（t＞1）时，随着x的变化，F′（x），F（x）的变化情况如下表：
；
∴F（x）在[-2，t]（t＞1）上的最小值是F（-2）与F（1）中的较小者；
∵

F(-2)

F(1)

=

13

e3

＜1，F（1）＞0，∴F（-2）＜F（1）；
∴F（x）在[-2，t]（t＞1）上的最小值是13e^-2；
②不存在[a，b]⊆（1，+∞），使得{g（x）|x∈[a，b]}=[a，b]；
证明如下：∵g（x）=（x²-3x+3）e^x+（x-2）e^x=（x-1）²e^x，
∴g′（x）=（2x-2）e^x+（x²-2x+1）e^x=（x²-1）e^x；
假设存在区间[a，b]满足题意，则当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）在[a，b]上是增函数，
∴

g(a)=a g(b)=b

，即

(a-1)2ea=a (b-1)2eb=b

；
这说明方程（x-1）²e^x=x有两个大于1的不等实根，
设φ（x）=（x-1）²e^x-x（x≥1），∴φ′（x）=（x²-1）e^x-1；
设h（x）=φ′（x）=（x²-1）e^x-1（x≥1），∴h′（x）=（x²+2x-1）e^x；
当x＞1时，h′（x）＞0，∴h（x）在（1，+∞）上是增函数；
又h（1）=-1＜0，h（2）=3e²-1＞0，
∴在（1，+∞）上存在唯一的实数x₀∈（1，2），使得h（x₀）=0，即φ′（x₀）=0；
当x∈（1，x₀）时，φ′（x₀）＜0，φ（x）在（1，x₀）上是减函数；
当x∈（x₀，+∞）时，φ′（x）＞0，φ（x）在（x₀，+∞）上是增函数；
∴φ（x）在x₀处取得最小值；
∴φ（x₀）＜φ（1）=-1＜0，φ（2）=e²-2＞0，
∴φ（x）在（1，+∞）时有且只有一个零点；
这与方程（x-1）²e^x=x有两个大于1的不等实根矛盾，
∴不存在[a，b]⊆（1，+∞），使得{g（x）|x∈[a，b]}=[a，b]．

点评：考查了利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的单调性求最值的问题，也考查了不等式恒成立的问题，是较难的题目．