Question

12．若函数f（x）=（a+$\frac{1}{{e}^{x}-1}$）cosx是奇函数，则常数a的值等于0．

Answer 1

分析 由f（x）为奇函数，便有f（-x）=-f（x），然后分别求出f（-x），-f（x），带入上式，经过整理便可得到，（2a-1）（1-e^x）cosx=0，从而便得到2a-1=0，从而得出a的值．

解答 解：∵f（x）是奇函数；
∴f（-x）=-f（x）；
即$（a+\frac{1}{{e}^{-x}-1}）cosx$=$-（a+\frac{1}{{e}^{x}-1}）cosx$；
∴（2a-1）（1-e^x）cosx=0；
∴2a-1=0；
∴$a=\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 考查奇函数的概念，以及见到分式的处理办法便是通分，并注意x≠0的情况．