题目内容
已知曲线C上任意一点M到点F(0,1)的距离比它到直线l:y=﹣2的距离小1.
(1)求曲线C的方程;
(2)过点P(2,2)的直线m与曲线C交于A、B两点,设
,当△AOB的面积为
时(O为坐标原点),求
的值.
(1)求曲线C的方程;
(2)过点P(2,2)的直线m与曲线C交于A、B两点,设
解:(1)∵点M到点F(1,0)的距离比它到直线l:y=﹣2的距离小于1,
∴点M在直线l的上方,点M到F(1,0)的距离与它到直线l':y=﹣1的距离相等,
∴点M的轨迹C是以F'为焦点,l'为准线的抛物线,
所以曲线C的方程为
=4y.
(2)当直线m的斜率不存在时,它与曲线C只有一个交点,不合题意,
设直线m的方程为y﹣2=k(x﹣2),即y=kx+(2﹣2k),
代入
=4y得
﹣4kx+8(k﹣1)=0(*)
△=16(k2﹣2k+2)>0对k∈R恒成立,
∴直线m与曲线C恒有两个不同的交点
设交点A,B的坐标分别为A(
,y1),B(x2,y2),
则
+x2=4k,
x2=8(k﹣1),
∵|AB|=
=
=
点O到直线m的距离d=
,
∴
=
,
∴(k﹣1)4+(k﹣1)2﹣2=0,
∴(k﹣1)2=1或(k﹣1)2=﹣2(舍),
∴k=0或k=2.
当k=0方程(*)的解为x=
若
,
,则
,
若
,则
,
当k=2,方程(*)的解为
若
,则
若
,则
所以,
.
∴点M在直线l的上方,点M到F(1,0)的距离与它到直线l':y=﹣1的距离相等,
∴点M的轨迹C是以F'为焦点,l'为准线的抛物线,
所以曲线C的方程为
(2)当直线m的斜率不存在时,它与曲线C只有一个交点,不合题意,
设直线m的方程为y﹣2=k(x﹣2),即y=kx+(2﹣2k),
代入
△=16(k2﹣2k+2)>0对k∈R恒成立,
∴直线m与曲线C恒有两个不同的交点
设交点A,B的坐标分别为A(
则
∵|AB|=
点O到直线m的距离d=
∴
∴(k﹣1)4+(k﹣1)2﹣2=0,
∴(k﹣1)2=1或(k﹣1)2=﹣2(舍),
∴k=0或k=2.
当k=0方程(*)的解为x=
若
若
当k=2,方程(*)的解为
若
若
所以,
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