题目内容

已知曲线C上任意一点M到点F(0,1)的距离比它到直线l:y=﹣2的距离小1.
(1)求曲线C的方程;
(2)过点P(2,2)的直线m与曲线C交于A、B两点,设,当△AOB的面积为时(O为坐标原点),求的值.
解:(1)∵点M到点F(1,0)的距离比它到直线l:y=﹣2的距离小于1,
∴点M在直线l的上方,点M到F(1,0)的距离与它到直线l':y=﹣1的距离相等,
∴点M的轨迹C是以F'为焦点,l'为准线的抛物线,
所以曲线C的方程为=4y.
(2)当直线m的斜率不存在时,它与曲线C只有一个交点,不合题意,
设直线m的方程为y﹣2=k(x﹣2),即y=kx+(2﹣2k),
代入=4y得﹣4kx+8(k﹣1)=0(*)
△=16(k2﹣2k+2)>0对k∈R恒成立,
∴直线m与曲线C恒有两个不同的交点
设交点A,B的坐标分别为A(,y1),B(x2,y2),
+x2=4k,x2=8(k﹣1),
∵|AB|===
点O到直线m的距离d=
=
∴(k﹣1)4+(k﹣1)2﹣2=0,
∴(k﹣1)2=1或(k﹣1)2=﹣2(舍),
∴k=0或k=2.
当k=0方程(*)的解为x=
,则
,则
当k=2,方程(*)的解为
,则
,则
所以,
练习册系列答案
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