题目内容

已知曲线C上任意一点M到点F(0,1)的距离比它到直线l:y=-2的距离小1.
(1)求曲线C的方程;
(2)过点P(2,2)的直线与曲线C交于A、B两点,设
AP
PB
.当△AOB的面积为4
2
时(O为坐标原点),求λ的值.
分析:(1)由题设知:点M的轨迹C是以F为焦点,l′为准线的抛物线,由此能求出曲线C的方程.
(2)设直线m的方程为y=kx+(2-2k),代入x2=4y,得x2-4kx+8(k-1)=0,由△=16(k2-2k+2)>0对k∈R恒成立,知直线m与曲线C恒有两个不同的交点,再由韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式,利用
AP
PB
、△AOB的面积为4
2
,能求出λ的值.
解答:解:(1)∵点M到点F(1,0)的距离比它到直线l:y=-2的距离小于1,
∴点M在直线l的上方,点M到F(1,0)的距离与它到直线l′:y=-1的距离相等,
∴点M的轨迹C是以F为焦点,l′为准线的抛物线,
所以曲线C的方程为x2=4y.
(2)当直线m的斜率不存在时,它与曲线C只有一个交点,不合题意,
设直线m的方程为y-2=k(x-2),即y=kx+(2-2k),
代入x2=4y,得x2-4kx+8(k-1)=0,(*)
△=16(k2-2k+2)>0对k∈R恒成立,
所以,直线m与曲线C恒有两个不同的交点,
设交点A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=4k,x1x2=8(k-1),
∵|AB|=
(x2-x1)2+(y2-y1)2

=
(1+k2)[(x2+x1)-4x2x1]

=4
(1+k2)(k2-2k+2)

点O到直线m的距离d=
|2-2k|
1+k2

S△ABO=
1
2
|AB|•d

=4|k-1|•
k2-2k+2

=4
(k-1)4+(k-1)2

S△ABO=4
2
,∴4
(k-1)4+(k-1)2
=4
2

∴(k-1)4+(k-1)2-2=0,
∴(k-1)2=1,或(k-1)2=-2(舍去),∴k=0,或k=2.
当k=0时,方程(*)的解为±2
2

x1=2
2
x2=-2
2
,则λ=
2+2
2
2
2
-2
=3-2
2

x1=-2
2
x2=2
2
,则λ=
2+2
2
2
2
-2
=3+2
2

当k=2时,方程(*)的解为4±2
2

x1=4+2
2
x2=4-2
2
,则λ=
-2-2
2
2-2
2
=3+2
2

x1=4-2
2
x2=4+2
2
,则λ=
-2+2
2
2+2
2
=3-2
2

所以,λ=3+2
2
,或λ=3-2
2
点评:本题考查曲线方程的求法,考查实数的取值范围的求法.解题时要认真审题,注意抛物线的简单性质、直线与圆锥曲线的位置关系、韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式等知识点的灵活运用.
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