Question

19．已知λ＞0，$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$），求证：直线AP必经过△ABC的内心．

Answer 1

分析 由于$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$与∠BAC的平分线所在向量共线，再利用向量的三角形法则、向量共线定理即可证明．

解答 证明：∵λ＞0，$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$），
∴$\overrightarrow{AP}$=λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$），
而$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$与∠BAC的平分线所在向量共线，
∴直线AP必经过△ABC的内心．

点评 本题考查了向量的三角形法则、向量共线定理、角平分线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．