Question

（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分.
已知双曲线设过点的直线l的方向向量
（1）      当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线l的方程及l与m的距离；
（2）      证明：当>时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为.

Answer 1

（1）双曲线C的渐近线，即          …… 2分
直线的方程                                  …… 6分
直线与m的距离                               …… 8分
（2）设过原点且平行于的直线
则直线与的距离，
当时，.                                 …… 12分
又双曲线C的渐近线为，
双曲线C的右支在直线的右下方，
双曲线C的右支上的任意点到直线的距离大于.      
故在双曲线C的右支上不存在点Q到到直线的距离为  …… 16分
假设双曲线C右支上存在点Q到到直线的距离为 ，

（2）

则，  （1）

由（1）得，                     …… 11分
设
当时，：
              …… 13分
将代入（2）得，
，

故在双曲线C的右支上不存在点Q到到直线的距离为  …… 16分

⑴中知道双曲线的方程可以求出渐近线方程，因为直线l和渐近线平行，所以可以确定l的方程，直线l与m方程确定，可以利用两条平行线间的距离公式求出距离.⑵是一个存在性问题，可以寻找参考对象，也可用反证法.