Question

【题目】如图所示的某种容器的体积为，它是由圆锥和圆柱两部分连结而成的，圆柱与圆锥的底面圆半径都为.圆锥的高为，母线与底面所成的角为；圆柱的高为.已知圆柱底面造价为元，圆柱侧面造价为元，圆锥侧面造价为元.

（1）将圆柱的高表示为底面圆半径的函数，并求出定义域；

（2）当容器造价最低时，圆柱的底面圆半径为多少？

Answer 1

【答案】（1），定义域为.（2）

【解析】

（1）由题由圆柱与圆锥体积公式得，得即可；（2）由圆柱与圆锥的侧面积公式得容器总造价为，求导求最值即可

（1）因为圆锥的母线与底面所成的角为，所以，

圆锥的体积为，圆柱的体积为.

因为，所以，

所以.

因为，所以.

因此.

所以，定义域为.

（2）圆锥的侧面积，

圆柱的侧面积，底面积.

容器总造价为.

令，则.令，得.

当时，，在上为单调减函数；

当时，，在上为单调增函数.

因此，当且仅当时，有最小值，即有最小值，为元.

所以总造价最低时，圆柱的底面圆半径为.