Question

已知直线y=x-2与抛物线y²=2x相交于点A、B，求证：OA⊥OB.

Answer 1

思路分析：本题主要考查抛物线与直线的交点的相关问题.对于求抛物线与直线的交点的问题，我们可以联立抛物线方程和直线方程建立方程组，解方程组即可.

证法一：将y=x-2代入y²=2x中，得(x-2)²=2x,化简得x²-6x+4=0, ∴x=3∴x=3+时，y=1+；x=3-时，y=1-.

∴k_OA·k_OB==-1，∴OA⊥OB.

证法二：同证法一得：方程x²-6x+4=0，∴x₁+x₂=6，x₁·x₂=4.

∴y₁·y₂=(x₁-2)(x₂-2)=x₁·x₂-2(x₁+x₂)+4=-4，

∴k_OA·k_OB==-1,∴OA⊥OB.