Question

4．已知直线$\sqrt{m}$x+$\sqrt{n}$y=4被圆x²+y²=25截得的弦长为6，则直线mx+ny=4与圆（x-1）²+（y-2）²=20的位置关系是（　　）

• A． 相离
• B． 相切
• C． 相交且有可能过圆心
• D． 相交但不过圆心

Answer 1

分析 由题意，圆心（0，0）到直线$\sqrt{m}$x+$\sqrt{n}$y=4的距离$\frac{4}{\sqrt{m+n}}$=4，m+n=1，圆心（1，2）到直线mx+ny=4的距离d=$\frac{|m+2n-4|}{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}$=$\frac{|n-3|}{\sqrt{2{n}^{2}-2n+1}}$，与半径比较，即可得出结论．

解答 解：由题意，圆心（0，0）到直线$\sqrt{m}$x+$\sqrt{n}$y=4的距离$\frac{4}{\sqrt{m+n}}$=4，∴m+n=1，
圆心（1，2）到直线mx+ny=4的距离d=$\frac{|m+2n-4|}{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}$=$\frac{|n-3|}{\sqrt{2{n}^{2}-2n+1}}$，
设n-3=t，则d=$\frac{1}{\sqrt{13（\frac{1}{t}+\frac{5}{13}）^{2}+\frac{1}{13}}}$≤$\sqrt{13}$＜$\sqrt{20}$，
∴直线与圆相交，
∵m+2n≠4，
∴直线与圆相交但不过圆心．
故选：D．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．