Question

13．在某物理实验中，有两粒子a，b分别位于同一直线上A、B两点处（如图所示），|AB|=2，且它们每隔1秒必向左或向右移动1个单位，如果a粒子向左移动的概率为$\frac{1}{3}$，b粒子向左移动的概率为$\frac{2}{5}$．
（1）求2秒后，a粒子在点A处的概率；
（2）求2秒后，a，b两粒子同时在点B处的概率．

Answer 1

分析 （1）本题是一个独立重复试验，1秒后a粒子向左移动1个单位的概率为$\frac{1}{3}$，又过1秒后a粒子回到A处的概率为1-$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$，根据独立重复试验的概率公式求2秒后，a粒子在点A处的概率；
（2）求出2秒后a粒子在B处的概率为$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}=\frac{4}{9}$，而b粒子2秒后在B处的概率为$\frac{3}{5}×\frac{2}{5}+\frac{2}{5}×\frac{3}{5}$=$\frac{12}{25}$，这两个事件是相互独立的，根据相互独立事件同时发生的概率，得到2秒后，a，b两粒子同时在点B处的概率．

解答 解：（1）∵1秒后a粒子向左移动1个单位的概率为$\frac{1}{3}$，又过1秒后a粒子回到A处的概率为1-$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$，∴a粒子先向左后向右回到A处的概率为$\frac{1}{3}×\frac{2}{3}$，同理，a粒子向右后向左回到A处的概率为$\frac{2}{3}×\frac{1}{3}$，故2秒后a粒子在A处的概率为$\frac{1}{3}×\frac{2}{3}$+$\frac{2}{3}×\frac{1}{3}$=$\frac{4}{9}$；
  （2）∵2秒后a粒子在B处的概率为$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}=\frac{4}{9}$，而b粒子2秒后在B处的概率为$\frac{3}{5}×\frac{2}{5}+\frac{2}{5}×\frac{3}{5}$=$\frac{12}{25}$．
∴2秒后a、b粒子同时在B处的概率为$\frac{4}{9}×\frac{12}{25}=\frac{16}{75}$．

点评 本题考查独立重复试验的概率公式，考查相互独立事件同时发生的概率，是一个基础题，解题时注意看清题意，是一个送分题目．