Question

已知如图：平行四边形ABCD中，BC=2，CD=

2

，BD⊥CD，正方莆ADEF所在平面与平面ABCD垂直，G，H分别是DF，BE的中点．
（1）求证：GH∥平面CDE；
（2）求平面ECFE与平面ABCD所成的二面角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）先根据ADEF是正方形得到G是AE的中点，再结合GH∥AB即可得到GH∥CD，进而得到结论；
（2）在平面DBC内过点D作DM⊥BC于M，连接EM，判断∠EMD是平面ECF与平面ABCD所成的二面角的平面角，求出其正弦值即可．

解答：（1）证明：连接EA，
∵ADEF是正方形，∴G是AE的中点-------（1分）
∴在△EAB中，GH∥AB--（2分）
又∵AB∥CD，∴GH∥CD，--（3分）
∵HG?平面CDE，CD?平面CDE
∴GH∥平面CDE----（4分）
（2）解：在平面DBC内过点D作DM⊥BC于M，连接EM
∵BC⊥ED，∴BC⊥平面EMD
∵EM?平面EMD，∴BC⊥EM
∴∠EMD是平面ECF与平面ABCD所成的二面角的平面角-------（12分）
∵CD=

2

，BD=

2

∴DM=

1

2

BC=1，EM=

ED2+DM2

=

5

∴sin∠EMD=

ED

EM

=

2 5

5

即平面ECF与平面ABCD所成的二面角的正弦值为

2 5

5

点评：本题考查线面平行，考查面面角，解题的关键是掌握线面平行的判定，正确作出面面角．