Question

已知如图：平行四边形ABCD中，BC=2，BD⊥CD，正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直，G，H分别是DF，BE的中点．
（1）求证：GH∥平面CDE；
（2）记CD=x，V（x）表示四棱锥F-ABCD体积，求V（x）的表达式；
（3）当V（x）取得最大值时，求平面ECF与平面ABCD所成的二面角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）先根据ADEF是正方形得到G是AE的中点；再结合GH∥AB即可得到GH∥CD进而得到结论；
（2）先根据面面垂直的性质定理得到FA⊥平面ABCD；再求出四棱锥的底面积以及高，最后直接代入体积计算公式即可；
（3）先根据基本不等式求出V（x）取得最大值时对应的x；
解法1：在平面DBC内过点D作DM⊥BC于M，连接EM；通过分析得到∠EMD是平面ECF与平面ABCD所成的二面角的平面角；求出其正弦值即可；
解法2：以点D为坐标原定，DC所在的直线为x轴建立空间直角，求出个点对应坐标以及两个平面的法向量的坐标，再代入向量的夹角计算公式，得到余弦值，进而得到其正弦值．

解答：（1）：连接EA，∵ADEF是正方形
∴G是AE的中点-------（1分）
∴在△EAB中，GH∥AB--（2分） 
又∵AB∥CD，∴GH∥CD，--（3分）
∵HG?平面CDE，CD?平面CDE
∴GH∥平面CDE----（4分）
（2）∵平面ADEF⊥平面ABCD，交线为AD  且FA⊥AD，
∴FA⊥平面ABCD．-----（6分）
∵BD⊥CD，BC=2，CD=x
∴FA=2，BD=

4-x2

（0＜x＜2）
∴S_{平行四边形ABCD}=CD•BD=x

4-x2

∴V(x)=

1

3

S平行四边形ABCD•FA=

2

3

x

4-x2

（0＜x＜2）--（8分）
（3）要使V（x）取得最大值，只须x

4-x2

=

x2(4-x2)

（0＜x＜2）取得最大值，
∵x2(4-x2)≤(

x2+4-x2

2

)2=4，当且仅当x²=4-x²，即x=

2

时 V（x）取得最大值---（10分）
解法1：在平面DBC内过点D作DM⊥BC于M，连接EM
∵BC⊥ED
∴BC⊥平面EMD
∴BC⊥EM
∴∠EMD是平面ECF与平面ABCD所成的二面角的平面角-------（12分）
∵当V（x）取得最大值时，CD=

2

，DB=

2

∴DM=

1

2

BC=1，EM=

ED2+DM2

=

5

∴sin∠EMD=

ED

EM

=

2 5

5

即平面ECF与平面ABCD所成的二面角的正弦值为

2 5

5

．-----------------（14分）
解法2：以点D为坐标原定，DC所在的直线为x轴建立空间直角
坐标系如图示，则D（0，0，0），C(

2

，0，0)，B(0，

2

，0)，E(0，0，2)
∴

DE

=(0，0，

2

)，

EC

=(

2

，0，-2)，

EB

=(0，

2

，-2)-------（12分）
设平面ECF与平面ABCD所成的二面角为θ，
平面ECF的法向量

n

=(a，b，c)
由

n

⊥

EC

，

n

⊥

EB

，得

2

a-2c=0，

2

b-2c=0
令c=1得

n

=(

2

，

2

，1)
又∵平面ABCD的法向量为

DE

∴cosθ=

DE • n

|DE |• |n|

=

2

2 • 5

=

5

5

∴sinθ=

2 5

5

．-------（14分）

点评：本小题主要考查空间线面关系、二面角的度量、几何体的体积等知识．解决第二问得关键在于先根据面面垂直的性质定理得到FA⊥平面ABCD．